Symmetric matrix

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對稱矩陣

[ 定義 ]

若一n階方陣 A = ( a i , j)nxn 滿足 a i , j= a j , i  ,則稱A為對稱矩陣。


[ 特性 ]

  • 對於任何方形矩陣X,X + XT是對稱矩陣。
  • A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。
  • 對角矩陣都是對稱矩陣。
  • 兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣,若且唯若兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
  • 任何方形矩陣X,如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域(例如實數),可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和:X = 1 / 2(X + XT) + 1 / 2(X − XT)
  • 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積,每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
  • 若對稱矩陣A的每個元素均為實數,A是Hermite矩陣。
  • 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
  • 如果X是對稱矩陣, 那麼 AXAT也是對稱矩陣.