體(Field)

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環(Field): 為一個集合F和兩個二元運算+、*之結合(不一定為+、*, 這裡以 +、*來解釋),通常寫為 (F,+, *),使其可有如下性質:



F 對 + 滿足交換群(abelian groups)

  • 封閉性(Closure): 若a和b為F之元素,則a+b也會是F之元素。
  • 結合性(Associative):若a、b和c為F的元素,則(a + b) + c = a + (b + c)。
  • 單位元素(Identity):存在單位元素 0,使得對每個F中的元素 a,使得0+a = a+0 = a。
  • 反元素(Inverses):對每一於F中的元素a,存在反元素 -a 屬於F,使得a +(-a)=(-a)+a = 0(單位元素)。
  • 交換性(Commutative):對任兩個於F內的元素a和b,使得 a+b = b+a。

F 對 * 除加法單位元素 0 後,滿足交換群(abelian groups)


  • 封閉性(Closure): 若a和b為F之元素,則 a*b 也會是F之元素。
  • 結合性(Associative):若a、b和c為F的元素,則(a * b) * c = a * (b * c)。
  • 單位元素(Identity):除加法單位元素 0 外,存在單位元素 1,使得對每個F中的元素 a,使得1*a = a*1 = a。
  • 反元素(Inverses):除加法單位元素 0 外,對每一於F中的元素a,存在反元素 a-1 屬於F,使得a *a-1=a-1*a = 1(單位元素)。
  • 交換性(Commutative):對任兩個於F內的元素a和b,使得 a*b = b*a。

及乘法對加法滿足分配律(distributes)

  • a*(b + c) = (a*b) + (a*c)
  • (a + b)*c = (a*c) + (b*c)