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對稱矩陣

[ 定義 ]

若一n階方陣 A = ( a _{i , j})_nxn 滿足 a _{i , j}= a _{j , i}  ，則稱A為對稱矩陣。

[ 特性 ]

• 對於任何方形矩陣X，X + X^T是對稱矩陣。
• A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。
• 對角矩陣都是對稱矩陣。
• 兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，若且唯若兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
• 任何方形矩陣X，如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：X = 1 / 2(X + X^T) + 1 / 2(X − X^T)
• 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
• 若對稱矩陣A的每個元素均為實數，A是Hermite矩陣。
• 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
• 如果X是對稱矩陣, 那麼 AXA^T也是對稱矩陣.