環(Ring)

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環(Ring): 為一個集合R和兩個二元運算+、*之結合，通常寫為 (R,+, *)，使其可有如下性質：

R 對 + 滿足交換群(abelian groups)

• 封閉性(Closure): 若a和b為G之元素，則a*b也會是G之元素。

• 結合性(Associative):若a、b和c為G的元素，則(a * b) * c = a * (b * c)。
  
• 單位元素(Identity):存在單位元素e，使得對每個G中的元素a，使得e*a = a*e = a。
  
• 反元素(Inverses):對每一於G中的元素a，存在反元素a-1屬於G，使得a * a-1=a-1* a = e(單位元素)。
  

• 交換性(Commutative):對任兩個於G內的元素a和b，使得 a*b=b*a。
  

R 對 * 滿足半群

• 封閉性(Closure): 若a和b為G之元素，則a*b也會是G之元素。

• 結合性(Associative):若a、b和c為G的元素，則(a * b) * c = a * (b * c)。

及乘法對加法滿足分配律(distributes)

• a*(b + c) = (a*b) + (a*c)
  
• (a + b)*c = (a*c) + (b*c)