環(Ring)

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環(Ring): 為一個集合R和兩個二元運算+、*之結合，通常寫為 (R,+, *)，使其可有如下性質：

R 對 + 滿足交換群(abelian groups)

• 封閉性(Closure): 若 a和b 為R之元素，則 a + b 也會是R之元素。
• 結合性(Associative):若 a、b和c 為R的元素，則(a + b) + c = a + (b + c)。
• 單位元素(Identity):存在單位元素 0，使得對每個R中的元素 a，使得0 + a = a + 0 = a。
• 反元素(Inverses):對每一R中的元素a，存在反元素 -a 屬於R，使得a + (-a) = (-a) + a = 0 (單位元素)。
• 交換性(Commutative):對任兩個於R內的元素a和b，使得 a + b = b + a。

R 對 * 滿足半群

• 封閉性(Closure): 若a和b為R之元素，則a*b也會是R之元素。

• 結合性(Associative):若a、b和c為R的元素，則(a * b) * c = a * (b * c)。

及乘法對加法滿足分配律(distributes)

• a*(b + c) = (a*b) + (a*c)
  
• (a + b)*c = (a*c) + (b*c)
  

若再滿足乘法交換性，則稱為交換環(Commutative Ring)

• 交換性(Commutative):對任兩個於R內的元素a和b，使得 a * b = b * a。