Symmetric matrix

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= 對稱矩陣 = = 對稱矩陣 =
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若一n階方陣&nbsp;A = (&nbsp;a <sub><sub>i ,&nbsp;j</sub><sub></sub></sub>)<sub>nxn&nbsp;</sub>滿足 a <sub>i , j</sub>= a <sub>j , i&nbsp;</sub>&nbsp;,則稱A為對稱矩陣。 若一n階方陣&nbsp;A = (&nbsp;a <sub><sub>i ,&nbsp;j</sub><sub></sub></sub>)<sub>nxn&nbsp;</sub>滿足 a <sub>i , j</sub>= a <sub>j , i&nbsp;</sub>&nbsp;,則稱A為對稱矩陣。
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* 若對稱矩陣A的每個元素均為實數,A是Hermite矩陣。 * 若對稱矩陣A的每個元素均為實數,A是Hermite矩陣。
* 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。 * 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
-* 如果X是對稱矩陣, 那麼 AXA<sup>T</sup>也是對稱矩陣. <br>+* 如果X是對稱矩陣, 那麼 AXA<sup>T</sup>也是對稱矩陣.&nbsp;<br>[[Category:Linear Algebra]]
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當前修訂版本

[編輯] 對稱矩陣

[ 定義 ]

若一n階方陣 A = ( a i , j)nxn 滿足 a i , j= a j , i  ,則稱A為對稱矩陣。


[ 特性 ]

  • 對於任何方形矩陣X,X + XT是對稱矩陣。
  • A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。
  • 對角矩陣都是對稱矩陣。
  • 兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣,若且唯若兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
  • 任何方形矩陣X,如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域(例如實數),可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和:X = 1 / 2(X + XT) + 1 / 2(X − XT)
  • 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積,每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
  • 若對稱矩陣A的每個元素均為實數,A是Hermite矩陣。
  • 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
  • 如果X是對稱矩陣, 那麼 AXAT也是對稱矩陣.