Symmetric matrix
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| - | 若一n階方陣 | + | 若一n階方陣 A = ( a <sub><sub>i , j</sub><sub></sub></sub>)<sub>nxn </sub>滿足 a <sub>i , j</sub>= a <sub>j , i </sub> ，則稱A為對稱矩陣。 |
| + | <br>[ 特性 ] | ||
| - | + | * 對於任何方形矩陣X，X + X<sup>T</sup>是對稱矩陣。 | |
| - | + | * A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。 | |
| - | + | * 對角矩陣都是對稱矩陣。 | |
| - | + | * 兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，若且唯若兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。 | |
| - | + | * 任何方形矩陣X，如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：X = 1 / 2(X + X<sup>T</sup>) + 1 / 2(X − X<sup>T</sup>) | |
| - | + | * 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。 | |
| - | + | * 若對稱矩陣A的每個元素均為實數，A是Hermite矩陣。 | |
| - | + | * 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。 | |
| - | + | * 如果X是對稱矩陣, 那麼 AXA<sup>T</sup>也是對稱矩陣. <br>[[Category:Linear Algebra]] | |
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當前修訂版本
[編輯] 對稱矩陣
[ 定義 ]
若一n階方陣 A = ( a i , j)nxn 滿足 a i , j= a j , i ，則稱A為對稱矩陣。
[ 特性 ]
- 對於任何方形矩陣X，X + XT是對稱矩陣。
- A為方形矩陣是A為對稱矩陣的必要條件。
- 對角矩陣都是對稱矩陣。
- 兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣，若且唯若兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換若且唯若兩者的特徵空間相同。
- 任何方形矩陣X，如果它的元素屬於一個特徵值不為2的域（例如實數），可以用剛好一種方法寫成一個對稱矩陣和一個斜對稱矩陣之和：X = 1 / 2(X + XT) + 1 / 2(X − XT)
- 每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個複對稱矩陣的積。
- 若對稱矩陣A的每個元素均為實數，A是Hermite矩陣。
- 一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣若且唯若所有元素都是零。
- 如果X是對稱矩陣, 那麼 AXAT也是對稱矩陣.
